第三章第一部分不定积分例题

2023-09-05 阅读 82 评论 0

摘要：以下题目引自陈文灯等老师的考研《数学复习指南》，我最近抽空客串了一把老师，对书中的例题和习题按照自己的思路进行了讲解。当时我考研的时候也正是通过这一本书加上一本真题和一本模拟题的训练顺利过关的，希望我的分享能对大家有所帮助。作为oCourse字

以下题目引自陈文灯等老师的考研《数学复习指南》，我最近抽空客串了一把老师，对书中的例题和习题按照自己的思路进行了讲解。当时我考研的时候也正是通过这一本书加上一本真题和一本模拟题的训练顺利过关的，希望我的分享能对大家有所帮助。作为oCourse字幕组组长，我之前一直在做国外公开课的翻译，大多也都是翻译的理工科课程，之后给网易公开课做翻译也做了很多，最近突然想自己试试当老师的感觉，也是参照之前Khan Academy的经验啦，不过本人声音和字都不好，教学水平也有待提高，所以给系列视频取名“草稿数学”，只求对大家有所帮助吧。由于博客园支持Latex，我这里将所有习题手输到了博客园，然后再逐一录制视频进行讲解，目前已基本完成极限、导数、积分三章的视频，后面经过处理将陆续发布。如果有足够人气，确实能对考研者有所帮助的话，我会继续发布接下来的视频。如果没有的话，我估计还是老老实实给网易公开课当付费翻译吧。。。。。。。。。。。。。。。。。。

1. 设 $\int f(x)\textup{d}x =x^2+C$ ，则 $\int xf(1-x^2)\textup{d}x$ 为：

（A） $-2(1-x^2)^2+C$ 　　（B） $2(1-x^2)^2+C$ 　　

（C） $-\frac{1}{2}(1-x^2)^2+C$ 　　（D） $\frac{1}{2}(1-x^2)^2+C$

视频解答点此

2. 求下列不定积分：

（1） $\int e^{e^x+x}\textup{d}x$

（2） $\int \frac{1}{x^2}\cos \frac{1}{x}\,\textup{d}x$

（3） $\int x(1+x^2)^{100}\,\textup{d}x$

（4） $\int \frac{\sqrt{1+2\arctan x}}{1+x^2}\,\textup{d}x$

（5） $\int \frac{\cot \theta}{\sqrt{\sin \theta}}\,\textup{d}x$

（6） $\int \frac{\textup{d}x}{(\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2}}$

视频解答点此

3. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\cos2x}{1+\sin x\cos x}\,\textup{d}x$

（2） $\int (x-1)e^{x^2-2x}\,\textup{d}x$

（3） $\int \frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^5}\,\textup{d}x$

（4） $\int \frac{\textup{d}x}{x^2+2x+5}$

视频解答点此

4. 求下列不定积分：

（1） $\int \sqrt{(x^2+x)e^x}(x^2+3x+1)e^x\,\textup{d}x$

（2） $\int (x\ln x)^\frac{3}{2}(\ln x+1) \,\textup{d}x$

（3） $\int e^{e^x\cos x}(\cos x-\sin x)e^x \,\textup{d}x$

（4） $\int \frac{\arctan \frac{1}{x}}{1+x^2}\,\textup{d}x$

（5） $\int \frac{\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^2})+5}}{\sqrt{1+x^2}}\,\textup{d}x$

（6） $\int \frac{\sin2x}{\sqrt{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}}\,\textup{d}x,~~~~b\neq a$

前三题视频解答；后三题视频解答；为什么 $\arcsin x+\arccos x = \pi/2$

5. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\cos^2x-\sin x}{\cos x\,(1+\cos x\,e^{\sin x})}\,\textup{d}x$ 视频解答

（2） $\int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\,\textup{d}x$ 视频解答

（3） $\int \frac{\ln x+2}{x\ln x(1+x\ln^2x)}\,\textup{d}x$ 视频解答

（4） $\int \frac{x^2+1}{x^4+1}\,\textup{d}x$ 视频解答

6. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{x\,\textup{d}x}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$ 视频解答

（2） $\int \frac{x^3\,\textup{d}x}{(1+x^2)^{3/2}}$ 视频解答

（3） $\int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^4}\,\textup{d}x~~~~(a$ 视频解答

（4） $\int \frac{\textup{d}x}{1+\sqrt{1-x^2}}$ 视频解答

7. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\textup{d}x}{x (x^7+2)}$

（2） $\int \frac{\textup{d}x}{(1+x+x^2)^{3/2}}$

解法一、解法二

8. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{2^x\,\textup{d}x}{1+2^x+4^x}$ 解答

（2） $\int \frac{\textup{d}x}{e^x(1+e^{2x})}$ 解答

（3） $\int \frac{\textup{d}x}{1+e^{x/2}+e^{x/3}+e^{x/6}}$ 解答

（4） $\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+e^x}+\sqrt{1-e^x}}$ 解答

9. 求下列不定积分：

（1） $\int (x^2+1)\,e^{2x} \,\textup{d}x$

（2） $\int (x^3+2x+5)\,\cos 2x \,\textup{d}x$

解法一、解法二

10. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{x\cos x}{\sin^3x}\,\textup{d}x$ 解答

（2） $\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}\,e^x\,\textup{d}x$ 解答

（3） $\int \sin(\ln x) \,\textup{d}x$ 解答

（4） $\int \frac{x+1}{(x+2)^2}\,e^x\,\textup{d}x$

（5） $\int \frac{x^2}{(x+2)^2}\,e^x\,\textup{d}x$

（4）、（5）两题解答

11. 求下列不定积分：

（1） $\int (x^5+3x^2-2x+5)\,\cos x \,\textup{d}x$ 解答

（2） $\int (x^4-2x^3-1)\,e^{2x} \,\textup{d}x$ 解答

12. 求下列不定积分：

（1） $\int x^2\arccos x \ \textup{d}x$

（2） $\int x(\arcsin x \)^2 \ \textup{d}x$

（3） $\int x^n\ln x \ \textup{d}x \ \ \ \ (n\neq -1)$

（4） $\int x^3(\ln x \)^4 \ \textup{d}x$

解答：1&2、3&4

13. 若 $f(x)$ 的导函数是 $\sin x$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数为：

（A） $1+\sin x$ 　　（B） $1-\sin x$ 　　（C） $1+\cos x$ 　　（D） $1-\cos x$

解答

14. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\textup{d}x}{x(2+x^{10})}$

（2） $\int \frac{1-x^7}{x(1+x^{7})}\textup{d}x$

（3） $\int \frac{x^{2n-1}}{x^{n}+1}\textup{d}x$

解答

15. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{2x^3+1}{(x-1)^{100}}\textup{d}x$

（2） $\int \frac{x^{11}\textup{d}x}{x^8+3x^4+2}$

（3） $\int \frac{\textup{d}x}{x(x^{10}+1)^2}$

（4） $\int \frac{x^{3n-1}}{(x^{2n}+1)^2}\textup{d}x$

解答：1&2、3&4

16. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\textup{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$ 解答

（2） $\int \frac{\textup{d}x}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}$ 解答

（3） $\int \frac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\textup{d}x$ 解答

17. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\textup{d}x}{\sin^3x\cos^5x}$

（2） $\int \frac{\textup{d}x}{\sin2x+2\sin x}$

（3） $\int \sqrt{1+\sin x}\ \textup{d}x$

（4） $\int \frac{\textup{d}x}{\sin^3x}$

18. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\textup{d}x$

（2） $\int \frac{\textup{d}x}{1+\sin x+\cos x}$

19. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}\textup{d}x$

（2） $\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x}\textup{d}x$

20. 求下列不定积分：

（1） $\int \sin4x\cos2x\cos3x\ \textup{d}x$

（2） $\int \sin^2x\cos^4x\ \textup{d}x$

（3） $\int \sin^5x\cos^6x\ \textup{d}x$

21. 求下列不定积分：

（1） $\int \frac{x^2}{1+x^2}\arctan x\ \textup{d}x$

（2） $\int \frac{\arccos x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\textup{d}x$

（3） $\int \frac{\textrm{arccot}\,\textup{e}^x}{\textup{e}^x}\textup{d}x$

22. 求下列不定积分：

（1） $\int[\frac{f(x)}{f'(x)}-\frac{f^2(x)f''(x))}{f'^3(x)}]\textup{d}x~$

（2） $\int \frac{f'(\ln x)}{x\sqrt {f(\ln x)}}\textup{d}x$

（3） $\int xf'(2x)\textup{d}x$ ，　　其中 $f(x)$ 的原函数是 $\frac{\sin x}{x}$

23. 设 $f(x)=\begin{cases} & 1,~~~~~~~x$ ，求 $\int f(x)\textup{d}x$ 。

24. 求 $\int \max(x^3,x^2,x)\textup{d}x$

25. 建立下列不定积分的递推公式：

（1） $I_n=\int \frac{\textup{d}x}{(x^2+a^2)^n}$

（2） $I_n=\int \frac{\textup{d}x}{x^n\sqrt{(1+x^2)}}~~~(n\geqslant 2)$

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