今天是算法数据结构专题的第34篇文章,我们来继续聊聊最短路算法。
在上一篇文章当中我们讲解了bellman-ford算法和spfa算法,其中spfa算法是我个人比较常用的算法,比赛当中几乎没有用过其他的最短路算法。但是spfa也是有缺点的,我们之前说过它的复杂度是
在上一篇文章当中我们曾经说过Bellman-ford算法本质上其实是动态规划算法,我们的状态就是每个点的最短距离,策略就是可行的边,由于一共最多要松弛V-1次,所以整体的算法复杂度很高。当我们用队列维护可以松弛的点之后,就将复杂度降到了
Dijkstra算法和Bellman-ford算法虽然都是最短路算法,但是核心的逻辑并不相同。Dijkstra算法的底层逻辑是贪心,也可以理解成贪心算法在图论当中的使用。
最短路径floyd算法例题,其实Dijstra算法和Bellman-ford算法类似,也是一个松弛的过程。即一开始的时候除了源点s之外,其他的点的距离都设置成无穷大,我们需要遍历这张图对这些距离进行松弛。所谓的松弛也就是要将这些距离变小。假设我们已经求到了两个点u和v的距离,我们用dis[u]表示u到s的距离,dis[v]表示v的距离。
假设我们有dis[u] < dis[v],也就是说u离s更近,那么我们接下来要用一个新的点去搜索松弛的可能,u和v哪一个更有可能获得更好的结果呢?当然是u,所以我们选择u去进行新的松弛,这也就是贪心算法的体现。如果这一层理解了,算法的整个原理也就差不多了。
我们来整理一下思路来看下完整的算法流程:
怎么样,其实核心步骤只有两步,应该很好理解吧?我找到了一张不错的动图,大家可以根据上面的流程对照一下动图加深一下理解。
我们根据原理不难写出代码:
INF = sys.maxsize
edges = [[]] # 邻接表存储边
dis = [] # 记录s到其他点的距离
visited = {} # 记录访问过的点while True:mini = INFu = 0flag = False# 遍历所有未访问过点当中距离最小的for i in range(V):if i not in visited and dis[i] < mini:mini, u = dis[i], iflag = True# 如果没有未访问的点,则退出if not flag:breakvisited[u] = Truefor v, l in edges[u]:dis[v] = min(dis[v], dis[u] + l)
boruvka算法,虽然我们已经知道算法没有反例了,但是还是可以思考一下。主要的点在于我们每次都选择未访问的点进行松弛,有没有可能我们松弛了一个已经访问的点,由于它已经被松弛过了,导致后面没法拿来松弛其他的点呢?
其实是不可能的,因为我们每次选择的都是距离最小的未访问过的点。假设当前的点是u,我们找到了一个已经访问过的点v,是不可能存在dis[u] + l < dis[v]的,因为dis[v]必然要小于dis[u],v才有可能先于u访问。但是这有一个前提,就是每条边的长度不能是负数。
和Bellman-ford算法一样,Dijkstra算法最大的问题同样是复杂度。我们每次选择一个点进行松弛,选择的时候需要遍历一遍所有的点,显然这是非常耗时的。复杂度应该是
我们观察一下会发现,外面这层循环也就算了,里面这层循环很没有必要,我们只是找了一个最值而已。完全可以使用数据结构来代替循环查询,维护最值的场景我们也已经非常熟悉了,当然是使用优先队列。
使用优先队列之后这段代码会变得非常简单,同样也不超过十行,为了方便同学们调试,我把连带优先队列实现的代码一起贴上来。
import heapq
import sys# 优先队列
class PriorityQueue:def __init__(self):self._queue = []self._index = 0def push(self, item, priority):# 传入两个参数,一个是存放元素的数组,另一个是要存储的元素,这里是一个元组。# 由于heap内部默认由小到大排,所以对priority取负数heapq.heappush(self._queue, (-priority, self._index, item))self._index += 1def pop(self):return heapq.heappop(self._queue)[-1]def empty(self):return len(self._queue) == 0que = PriorityQueue()INF = sys.maxsize
edges = [[], [[2, 7], [3, 9], [6, 14]], [[1, 7], [3, 10], [4, 15]], [[1, 9], [2, 10], [6, 2], [4, 11]], [[3, 11], [5, 6]], [[4, 6], [6, 9]], [[3, 2], [5, 9]]] # 邻接表存储边
dis = [sys.maxsize for _ in range(8)] # 记录s到其他点的距离
s = 1
que.push(s, 0)
dis[s] = 0
visited = {}while not que.empty():u, d = que.pop()if d != dis[u]:continuefor v, l in edges[u]:if dis[u] + l < dis[v]:dis[v] = dis[u] + lque.push(v, dis[v])print(dis)
这里用visited来判断是否之前访问过的主要目的是为了防止负环的产生,这样程序会陷入死循环,如果确定程序不存在负边的话,其实可以没必要判断。因为先出队列的一定更优,不会存在之后还被更新的情况。如果想不明白这点加上判断也没有关系。
运筹学最短路算法?我们最后分析一下复杂度,每个点最多用来松弛其他点一次,加上优先队列的调整耗时,整体的复杂度是
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