双线性内插插值原理-變量-匯編語言學習筆記

双线性内插插值原理

2023-09-07 阅读 17 评论 0

摘要：双线性插值，这个名字一听就很高大上，在维基百科上一查（见文末一堆的公式），虽然看着好复杂，但仔细一看道理其实比较简单，所以还是梳理一下好。双线性插值，顾名思义就是两个方向的线性插值加起来。所以只要了解什么是

双线性插值，这个名字一听就很高大上，在维基百科上一查（见文末一堆的公式），虽然看着好复杂，但仔细一看道理其实比较简单，所以还是梳理一下好。

双线性插值，顾名思义就是两个方向的线性插值加起来。所以只要了解什么是线性插值，分别在x轴和y轴都做一遍，就是双线性插值了。

线性插值的概念也非常简单，就是两个点A，B，要在AB中间插入一个点C（点C坐标在AB连线上），就直接让C的值落在AB的值的连线上就可以了。

如A点坐标(0,0),值为3，B点坐标(0,2)，值为5，那要对坐标为(0,1)的点C进行插值，就让C落在AB线上，值为4就可以了。

但是如果C不在AB的线上呢？所以就有了双线性插值。如图，已知Q12，Q22，Q11，Q21，但是要插值的点为P点，这就要用双线性插值了，首先在x轴方向上，对R1和R2两个点进行插值，即蓝色R1的值根据Q11和Q21的值可求得为：

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),$

蓝色R2的值为：

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).$

然后根据R1和R2在纵坐标y的方向上对P点进行插值，即

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

这就是所谓的双线性插值。

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附：维基百科--双线性插值：

双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

假如我们想得到未知函数 $f$ 在点 $P=\left( x, y\right)$ 的值，假设我们已知函数 $f$ 在 $Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right)$ , $Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right)$ , $Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right)$ , 及 $Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right)$ 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值，得到

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),$

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).$

然后在 y 方向进行线性插值，得到

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

这样就得到所要的结果 $f \left( x, y \right)$ ,

$f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)$

$+ \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).$

如果选择一个坐标系统使得 $f$ 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为

$f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

或者用矩阵运算表示为

$f(x,y) \approx \begin{bmatrix}1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f(0,0) & f(0,1) \\f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1-y \\y \end{bmatrix}$