北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题

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1. $(10')$ 在 $\bbR^3$ 上定义线性变换 $\scrA,\ \scrA$ 在自然基 \[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_3=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\] 下的矩阵为 \[\left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)\] 求 $\bbR^3$ 的一组基, 使得 $\scrA$ 在这组基下具有 Jordan 型. 

2. $(10')$ $3$ 阶实矩阵 $A$ 的特征多项式为 $x^3-3x^2+4x-2$. 证明$A$ 不是对称阵也不是正交阵. 

3. $(15')$ 在所有 $2$ 阶实方阵上定义二次型 $f$:$X\rightarrow \tr(X^2)$, 求 $f$ 的秩和符号差. 

4. $(15')$ 设 $V$ 是有限维线性空间, $\scrA,\scrB$ 是 $V$ 上线性变换满足下面条件:

(1) $\scrA\scrB=\scrO$;  

(2) $\scrA$ 的任意不变子空间也是 $\scrB$ 的不变子空间;  

(3) $\scrA^5+\scrA^4+\scrA^3+\scrA^2+\scrA=\scrO$.     

证明 $\scrB\scrA=\scrO$. 

5. $(15')$ 设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式组成的线性空间. 定义线性变换$\scrA$:$f(x)\rightarrow f(1-x)$. 求 $\scrA$ 的特征值和对应的特征子空间. 

6. $(15')$ 计算行列式.各行底数为等差数列,各列底数也为等差数列,所有指数都是$50$: \[\left|\begin{array}{ccccc} 1^{50}&2^{50}&3^{50}&\cdots &100^{50}\\ 2^{50}&3^{50}&4^{50}&\cdots &101^{50}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 100^{50}&101^{50}&102^{50}&\cdots& 199^{50}\\\end{array}\right|.\] 

7. $(20')$ 设 $V$ 是复数域上有限维线性空间, $\scrA$ 是 $V$ 上可线性变换, $\scrA$ 在一组基下矩阵为 $F$. 证明:

(1) 若 $\scrA$ 可对角化, 对任意 $\scrA$ 的不变子空间 $U$, 存在$U$ 的一个补空间 $W$ 是 $\scrA$ 的不变子空间;

 (2) 若对任意 $\scrA$ 的不变子空间 $U$, 存在 $U$ 的一个补空间 $W$ 是 $\scrA$ 的不变子空间,证明 $F$ 可对角化. 

8. $(20')$ 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆. 详细论证这一点. 

9. $(15')$ 平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 与双曲抛物面 $2z=x^2-y^2$ 交于两条直线. 证明 $A^2-B^2-2CD=0$. 

10. $(15')$ 正十二面体有 $12$ 个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接 $3$ 条棱. 求它的内切球与外接球半径比.