从Softmax回归到Logistic回归

 2023-09-05 阅读 339 评论 0

摘要:  Softmax回归是Logistic回归在多分类问题上的推广,是有监督的。   回归的假设函数(hypothesis function)为,我们将训练模型参数,使其能够最小化代价函数:          在Softmax回归中,我们解决的是多分类问题&#x

  Softmax回归是Logistic回归在多分类问题上的推广,是有监督的。

  回归的假设函数(hypothesis function)为,我们将训练模型参数,使其能够最小化代价函数:

        

在Softmax回归中,我们解决的是多分类问题,类标y可以取k个不同的值。对于给定的测试输入x,我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值。也就是说,我们想估计x的每一种分类结果的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个k维的向量(向量元素的和为1)来表示这k个估计的概率值。具体地说,我们的假设函数形式如下:

        

其中,···,是模型参数。这一项对概率分布进行归一化,使得所有的概率之和为1。

  为了方便起见,我们同样使用符号来表示全部的模型参数。在实现softmax回归时,将用一个的矩阵来表示会很方便,该矩阵是将,···,按行罗列起来得到的,如下表示:

        

代价函数

  现在介绍softmax回归算法的代价函数。在下面的公式中,是示性函数,其取值规则为:1{值为真的表达式}=1,1{值为假的表达式}=0。代价函数为:

         

上述公式是logistic回归代价函数的推广。可以看到,softmax代价函数与logistic代价函数在形式上非常类似,只是在softmax代价函数中对类标记的k个可能值进行了累加。注意在softmax回归中将x分类为类别j的概率为:

        

对于的最小化问题,目前还没有闭式解决。因此,我们使用迭代的优化算法(例如梯度下降法,或L-BFGS)。经过求导,我们得到梯度公式如下:

        

有了上述偏导数公式后,我们就可以将它带入到梯度下降法等算法中,来最小化。在实现softmax回归算法时,我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说,就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

  softmax回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量中减去了向量,这时,每一个都变成了。此时假设函数变成了

         

也就是说,从中减去完全不影响假设函数的预测结果。这表明前面的softmax回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说,softmax模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数 ,可以求出多组参数值,这些参数得到的是完全相同的假设函数

  进一步而言,如果参数是代价函数的极小值点,那么同样也是它的极小值点,其中可以为任意向量。因此使最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是Hessian矩阵是奇异的/不可逆的,这会导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题。)

  注意,当时,我们总是可以将替换为(即替换为全零向量),并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量(或者其他中的任意一个)而不影响假设函数的表达能力。实际上,与其优化全部的个参数(其中),我们可以令,只优化剩余的个参数,这样算法依然能够正常工作。

  在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数,而不任意地将某一参数设置为0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决softmax回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

  我们通过添加一个权重衰减项

        

来修改代价函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值,现在我们的代价函数变为:

        

有了这个权重衰减项以后,代价函数就变成了严格的凸函数,这样就可以保证得到唯一的解了。此时的Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为是凸函数,梯度下降法和L-BFGS等算法可以保证收敛到全局最优解。

  通过最小化,我们就能实现一个可用的softmax回归模型。

Softmax回归和Logistic回归的关系

  当类别数时,softmax回归退化为logistic回归,这表明softmax回归是logistic回归的一般形式。具体地说,当时,softmax回归的假设函数为

        

利用softmax回归参数冗余的特点,我们令,并且从两个参数向量都减去向量,得到

        

            

            

因此,用来表示,我们会发现softmax回归器预测其中一个类别的概率为,另一个类别的概率为,这与logistic回归是一致的。

Softmax回归 vs. k个二元分类器

  如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?

  这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)

  如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

  现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?

  在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

 

参考资料

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/UFLDL_Tutorial

转载于:https://www.cnblogs.com/Peyton-Li/p/7612517.html

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